越後姫さんこんにちは。
ちょっと見たことのないエラーです。A5:SQL Mk-2のバージョンはどれをお使いでしょうか?。あとは直接接続ではなく、InstantClient等を入れてOCI経由での接続はできませんでしょうか?。
InstantClientはファイルコピー(zipファイルの展開)だけで使えるOCIの最小セットです。
なぜ特定のユーザーで接続に時間がかかるのか、あるいは ORA-3136 が発生してしまうのかは良く分かりません。ただ、これは接続時の問題のようなので、データベースの接続を閉じないまま、A5:SQL Mk-2を終了したことが原因ではないような気がします。(状況が良く分からないので確証はありませんが…)